Comptage des systèmes locaux $\ell$-adiques sur une courbe

Abstract

Let $X_{1}$ be a projective, smooth and geometrically connected curve over $\mathbb{F}_{q}$ with $q=p^{n}$ elements where $p$ is a prime number, and let $X$ be its base change to an algebraic closure of $\mathbb{F}_{q}$. We give a formula for the number of irreducible $\ell$-adic local systems ($\ell\neq p$) with a fixed rank over $X$ fixed by the Frobenius endomorphism. We prove that this number behaves like a Lefschetz fixed point formula for a variety over $\mathbb{F}_q$, which generalises a result of Drinfeld in rank $2$ and proves a conjecture of Deligne. To do this, we pass to the automorphic side by Langlands correspondence, then use Arthur’s non-invariant trace formula and link this number to the number of $\mathbb{F}_q$-points of the moduli space of stable Higgs bundles.

Résumé

Soit $X_{1}$ une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur un corps fini $\mathbb{F}_{q}$ avec $q=p^{n}$ éléments où $p$ est un nombre premier. Soit $X$ le changement de base de $X_{1}$ à une clôture algébrique de $\mathbb{F}_{q}$. Nous donnons une formule pour le nombre des systémes locaux $\ell$-adiques ($\ell\neq p$) irréductibles de rang donné sur $X$ fixé par l’endomorphisme de Frobenius. Nous montrons que ce nombre est semblable à une formule de point fixe de Lefschetz pour une variété sur $\mathbb{F}_q$, ce qui généralise un résultat de Drinfeld en rang 2 et prouve une conjecture de Deligne. Pour ce faire, nous passerons du côté automorphe, utiliserons la formule des traces d’Arthur non-invariante, et relierons le nombre cherché avec le nombre $\mathbb{F}_q$-points de l’espace des modules des fibrés de Higgs stables.