Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogénes

Abstract

Soient $G$ un groupe de Lie réel simple, $\Lambda$ un réseau de $G$ et $\Gamma$ un sous-semi-groupe Zariski dense de $G$. On montre que toute partie infinie $\Gamma$-invariante dans le quotient $X=G/\Lambda$ est dense.
Soit $\mu$ une probabilité sur $G$ dont le support est compact et engendre un sous-groupe Zariski dense de $G$. On montre que toute probabilité $\mu$-stationnaire sans atome sur $X$ est $G$-invariante.On montre aussi des énoncés analogues pour le tore $X=\mathbb{T}^d$.

Let $G$ be the group of real points of a real simple Lie group, $\Lambda$ be a lattice of $G$ and $\Gamma$ be a Zariski dense subsemigroup of $G$. We prove that every infinite $\Gamma$-invariant subset in the quotient $X=G/\Lambda$ is dense. Let $\mu$ be a probability measure on $G$ whose support is compact and spans a Zariski dense subgroup of $G$. We prove that every atom free $\mu$-stationary probability measure on $X$ is $G$-invariant. We also prove similar results for the torus $X=\mathbb{T}^d$.